Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Se indica mediante una punta de flecha situada en el
extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el
vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de
los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este
sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con
exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma
general, es el Sistema de Coordenadas
Cartesianas.
Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas
cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores
unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares
entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de
referencia.
Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el
vector unitario 
o también
denominado 
.
Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector
unitario 
o también denominado 
.
Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector
unitario 
o también denominado 
.
Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas cartesianas
de la siguiente forma:
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y
la misma dirección.
a+b=(axi+ayj+
azk)+(bxi+byj+
bzk)=(ax+bx)i+(ay
+by)j+(az+bz)k
Elemento Simétrico:
a+(-a)=a-a=0
Los escalares
, 
y 
se
denominan componentes del vector y se representan por:
Los vectores 
son los
vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i, j, y
k.
También puede representarse de la siguiente
forma:
La suma de dos vectores libres es otro vector libre que
se determina de la siguiente forma:
Al vector que se obtiene al sumar o restar varios
vectores se le denomina resultante.
La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras
diferentes, analítica y gráficamente.
Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la
denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar
paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un
paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de
dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente
dibujo:
Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es
trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste,
coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un
vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo,
de la siguiente manera:
Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma
dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la
La expresión correspondiente al vector suma
es:
La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:
El resultado de multiplicar un escalar k
por un vector v, expresado analíticamente por kv, es otro
vector con las siguientes características :
1.- Tiene la misma dirección que v.
2.- Su
sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el
opuesto, si k es un número negativo.
3.- El módulo es k veces
la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es 0 el
resultado es el vector nulo).
Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por
cada una de las coordenadas del vector.
Ejemplo : Dado el vector v de componentes :
vxi + vyj + vzk, el producto 3 · v =
3 · vxi + 3 · vyj + 3 ·
vzk.
La representación gráfica del producto es igual a sumar
el vector tantas veces como indica el escalar.
Ejemplo :
El producto de un vector por un escalar cumple las
siguientes propiedades:
1.- Conmutativa: k · v = v ·
k.
2.- Distributiva: k (v + u) = (k ·
v ) + (k · u).
3.- Elemento Neutro: 1 · v =
v.
4.- Elemento Simétrico: -1 · v = - v.
El producto escalar de dos vectores, expresado
analíticamente como r · v, se obtiene de la suma de los productos
formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores
r y v, expresados en un mismo sistema de
coordenadas:
r = rxi +
ryj + rzk
v = vxi +
vyj + vzk
teniendo en cuenta que el producto escalar de los
vectores :
i · i = j · j =
k · k = 1
i · j = i · k = j
· k = 0
el resultado de multiplicar escalarmente r por
v es:
r · v = rx·
vx + ry · vy+ rz ·
vz
Esta operación no solo nos permite el cálculo de la
longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino
también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el
producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno
del ángulo que forman mediante la fórmula :
r · v = |r| · |v| · cos
(r, v)
Conmutativa : r · v = v · r
Distributiva
: r · ( v + u ) = r · v + r · u
Asociativa : (
k · r ) · v = k · ( r · v ) = r · ( k · v
) siendo k escalar.
Además :
1.- r · r = 0 si, y sólo sí r = 0.
2.-
Si r y v <> 0 y r · v = 0, esto implica que los
vectores son perpendiculares, (cos 90º = 0).
3.- El producto escalar de dos
vectores es equivalente a multiplicar escalarmente uno de ellos por el vector
proyección del otro sobre él.
Ejemplo :
Proyección ortogonal (rv) de
r sobre v
rv= |r| cos (r, v) -> r · v = |v| ·
rv
Ejemplo :
Calcular el producto escalar de los vectores r =5
i - 3 j + 2 k y v = -2 i + j + 3 k. Hallar el ángulo que
forman.
Primero hallamos el producto escalar de los vectores
:
r · v = 5 · (-2) + (-3) · 1 + 2 · 3 =
-7
Ahora calculamos el angulo que forman;
sabemos que :
como ya calculamos r · v, nos queda que hallar el
producto de sus módulos para poder realizar el cociente:
|r| · |v| = 22.17.
Entonces
y obtenemos que el ángulo entre los vectores es =
108.06º.
El producto escalar de dos vectores es por definición un
escalar.
Propiedades: 
Podemos usar ahora el producto escalar para encontrar el
ángulo de los vectores a y b:
Con lo que deducimos que:
y
0
Si cos de a y b = 0 vectores perpendiculares.
Si cos de a y b <> 0
vectores perpendiculares.
En este caso, 
, podemos sacar
como conclusión que a = 0 ó b = 0, o bien que a y b
son mutuamente perpendiculares.
El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b,
Se escribe 
. Por
tanto:
donde n es un vector unitario perpendicular al
plano de a y b en el sentido del movimiento de un tornillo que
gira hacia la derecha de a a b.
Propiedades:
Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino
también una magnitud, a esa magnitud se le denomina
módulo.
Gráficamente: es la distancia que existe
entre su origen y su extremo, y se representa por:
Coordenadas cartesianas: En muchas
ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente
perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano
tridimensional.
Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX,
j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay,
az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:
y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con
que el módulo de a es:
