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INTEGRAL INDEFINIDA

Función primitiva :

Una función F(x) se dice que es primitiva de otra función f(x) cuando F'(x) = f(x)

Por ejemplo F(x) = x² es primitiva de f(x) = 2x

Otra primitiva de f(x) = 2x podría ser F(x) = x² + 5 , o en general , F(x) = x² + C , donde C es una constante .

Por lo tanto una función f(x) tiene infinitas primitivas . Al conjunto de todas las

funciones primitivas se le llama integral indefinida y se representa por

= F(x) + C Þ F'(x) = f(x)

Propiedades de la integral indefinida

1ª = +

Ejemplo : = + = x² + sen x

Demostración :

Por la definición = F(x) + C Þ F'(x) = f(x)

Por otro lado , queremos demostrar que = + es decir , que si derivamos el segundo miembro nos tiene que salir , por lo tanto:

( + )' = ()' + ()' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x) c.q.d.

2ª

Ejemplo : = 5·Lnx

Ejemplo :

Demostración :

Queremos demostrar que ()' =

()' = k · ()' = k · F'(x) = k· f(x) c.q.d.

Integrales inmediatas

Integración por partes

Puesto que dy = y' · dx las propiedades de la diferencial deben ser las mismas que las de las derivadas , por ejemplo :

d( u+v) = (u+v)' dx = ( u' +v' ) dx = u' dx + v' dx = du +dv

d(u·v) = (u·v)' dx = (u'v+v'u) dx = u'v dx + v'u dx = vdu + udv

Si nos quedamos con esta última propiedad :

d(u·v) = v·du + u·dv Þ u·dv = d(u·v) - v·du Þ

Puesto que

Ejemplo :

u = x Þ du = dx

dv = e^2xdx Þ

= x·-= x·-+ C

Casos que se suelen resolver :

etc.

Integración de funciones racionales I =

Pueden ocurrir tres casos :

1º grado numerador > grado denominador

2º grado numerador = grado denominador

3º grado numerador < grado denominador

Los tres casos se reducen al 3º ya que si recordamos las propiedades del cociente :

P(x) Q(x)

R(x) C(x)

Þ P(x) = Q(x) ·C(x) + R(x) Þ Þ

donde la integral de C(x) es inmediata y R(x) es un polinomio de menor grado que Q(x) y por lo tanto estamos en el tercer caso .

Ejemplo :

=+ C

Para resolver el 3^er caso debemos de factorizar el denominador y puede ocurrir :

1º Que el denominador tenga raíces reales simples :

Si igualamos P(x) = se calcula A y B comparando coeficientes o dándole valores a la x

Al final tendremos :

Ejemplo :

===

Comparando el principio con el final obtenemos :

A + B + C = -1

A + 3B = 7

A + 2B -C = 9

Con lo que queda : =

Ln(x+1) + 2Ln(x-1) -4Ln(x+2) + C

2º Que el denominador tenga raíces reales múltiples :

Igualando el principio con el final :

P(x) =

Calculamos los coeficientes A , B , C y D .

Resolvemos la siguiente integral :

Ejemplo :

3x +12 = Þ A = 2 , B=-2 y C=-3

2Ln(x-2) - 2Ln(x+1) -3 + C

3º Que el denominador tenga raíces reales complejas sencillas :

Si al intentar resolver una ecuación de 2º grado nos sale una raíz negativa se dice que no tiene solución real , pero sí compleja .

El denominador complejo debemos de ponerlo de la forma (x-a)² + b² y resolver la integral de la siguiente forma :

=a partir de aquí nos saldrá como solución un Ln y una arctg .

Ejemplo :

Þ no tiene raíces reales por lo que igualamos = (x-a)² + b² Þ

= x² -2ax + a² + b² Þ a = -1 , b =

=en este caso se ve directamente que A = 1 y B = 3

===

=Esta última integral se resuelve como una arctg :

====

Luego la solución final es + C

Ejemplo resumen :

donde tendríamos que calcular A, B, C, D , E y después resolver cada una de las integrales .

Integración por cambio de variable o sustitución

Sea donde a su vez x = g(t)

Si recordamos que la diferencial dy = y' · dx Þ dy(x) = y'(x) · dx entonces si x = g(t) Þ dx = dg(t) = g'(t) dt

por lo que :

Se pueden presentar los siguientes casos :

1º Tipo irracional : se resuelve por un cambio de variable que haga desaparecer todas las raíces .

Ejemplo :Hacemos la sustitución x-1 = t² Þ x = 1 + t² Þ 1·dx = 2t dt

= =

= + C

Ejemplo :

sustitución x = t⁶ Þ 1·dx = 6t⁵ dt

Þ t =

= 6=6 =deshaciendo el cambio =

= 6+ C

2º Tipo exponencial o logarítmica: sustitución a^f(x)= t ó logf(x) = t

Ejemplo :

sustitución e^x = t Þ x = Ln t Þ dx =

3º Tipo trigonométrica :

a) Impar en seno : sustitución cos x = t Þ x = arc cos t Þ dx = dt

Ejemplo :

= = = = =

b) Impar en coseno : sustitución sen x = t Þ x = arcsent Þ dx =

Ejemplo :

c) Par en seno y coseno : sustitución tg x = t Þ x = arctg t Þ dx =

Por si lo necesitamos conviene recordar que cosx = y también que

senx = cosx · tgx =

Ejemplo :

t - arctgt = tgx -arctg(tgx) + C = tgx - x +C

d) Ninguno de los anteriores : sustitución tg( Este año no la veremos )

4º Tipo inversa trigonométrica : por ejemplo para el arcsenx la sustitución es arcsenx= t Þ x = sent Þ dx = cost dt

Ejemplo :

= = =

INTEGRAL DEFINIDA

Concepto de integral definida :

Sea una función continua definida en [a,b] .Supongamos que dividimos este intervalo en n subintervalos : [a,x₁] , [x₁,x₂] , [x₂,x₃] ..........., [x_n-2,x_n-1] , [x_n-1,b]

Podríamos calcular la suma de todas las áreas de los rectángulos superiones e inferiores y obtendríamos :

S_sup(f) = M₁(x₁-x₀)+ M₂(x₂-x₁)+ M₃(x₃-x₂)+................... M_n(x_n-x_n-1) siendo M₁ , M₂ , etc los máximos de f en cada uno de los intervalos .

S_inf(f) = m₁(x₁-x₀)+ m₂(x₂-x₁)+ m₃(x₃-x₂)+................... m_n(x_n-x_n-1) siendo m₁ , m₂ , etc los mínimos de f en cada uno de los intervalos .

Lógicamente S_inf< Área de f(x) < S_sup

Cuando n tiende a infinito es decir , cuando aumenta el número de subintervalos entonces :

Si la función está por debajo del eje x la amplitud de los intervalos sigue siendo + pero las M_i y las m_i son - por lo que la suma dará una cantidad negativa y por tanto el área será negativa . En este caso se debe tomar el valor absoluto .

Si una curva cruza el eje x tendrá una parte positiva y otra negativa . Si queremos calcular el área total debemos de calcular los puntos de corte con el eje X y calcular el área de la parte de arriba y la de abajo . El área total será la suma de todas las áreas en valor absoluto .

Propiedades de la integral definida : (interpretación geométrica muy sencilla)

1ª